A prímszámokkal kapcsolatos megfigyelések. A Mersenne-prímekkel kapcsolatos új észrevételek

Abstract

Prímszámeloszlás. A kutatási munkánk célja, hogy a prímszámokkal kapcsolatos néhány problémával kapcsolatban új megfigyeléseket tegyünk, a problémákat új perspektívából világítsuk meg. A legelső ilyen megfigyelésem a prímszámtételre vonatkozik, vagyis hogy egy adott intervallumban hány prímszám létezik (más néven a prímszámeloszlás). 1. Tétel. A π(x) számelméleti függvény megadható az x lnx képlettel, vagyis: limn→∞ π(x) x lnx = 1 ; π(x) ∼ x lnx Joggal merül fel a kérdés, hogy létezik-e jobb megközelítés, hiszen a π(x) számelméleti függvény elég lassan közelíti meg a prímszámok tényleges eloszlását. Vegyünk figyelembe a következő számelméleti függvényt: ω(x) = x logδ(x) ahol a δ = 2, 7698381611446738. A számelméleti függvény képletének helytállóságához szükségünk van annak bizonyítsására, ehhez pedig a következő lemmát használjuk fel.