Véges vad 2-csoportok nulla karakterisztikájú lokális gyűrűk felett

Abstract

A matematikai tudományban, a csoportelmélet a csoport megnevezésű algebrai struktúrát tárgyalja. A csoportelmélet fontos számtani eszköze a vegytannak és a fizikában is gyakran előjön, különösen a kvantumfizikában. Gyakran a csoportelmélet a kémiában elsősorban a szimmetriacsoportok vagy pontcsoportok elméletében bukkan fel. Testek felett a véges csoportok mátrix reprezentációja már széleskörűen kutatva volt. Ha a reprezentációs típusról vesszük, abban az esetben, amikor a csoport rendje nem osztható a test karakterisztikájával, akkor a csoport az ekvivalencia pontossággal, végtelen számú felbonthatatlan reprezentációkból áll, ellenkezőleg csak olyan csoportnak van véges számú felbonthatatlan reprezentációja, amely Sylow ciklikus p-részcsoporttal rendelkezik, ahol p a test karakterisztikáját jelöli. Az ilyen esetet modulárisnak hívják. V. Basev a (2,2) típusú csoport szelídségét bizonyította be. Ezek után P. Gudivok (nem került publikálásra) és külön S. Kruhlyak a (p; p) típusú csoport a (p > 2) esetben való vadságát bizonyították be. Később S. Brenner bebizonyította, hogy a (2,2,2) és a (2,4) típusú csoport vad lesz, és legvégül V. Bondarenko és Yu. Drozd bebizonyították a szelídség kritériumát tetszőleges fixált karakterisztikájú kommutatív test felett. A csoportok reprezentációjának tanulmányozása kommutatív gyűrűk esetében, mely valamilyen szinten általánosítása azok testek feletti reprezentációknak, összetettebbnek bizonyult. Fontos megjegyezni, hogy minél kisebb a csoport rendje vagy az s szám, annál összetettebb a csoport vadságának (szelídségének) bizonyítása. A diplomamunka három fejezetből tevődik össze. Az elsőben az alapfogalmak vannak definiálva. A második fejezet a véges csoportok vadságával kapcsolatban álló jelentősebb kutatási eredményeket tárgyalja. A harmadik fejezetben egy 2-csoport vadságának bizonyítása szerepel valamely lokális faktoriális gyűrű felett.