φ-Субгауссовi процеси дробового ефекту

Abstract

Резюме. Ми дослiджуємо властивостi певного класу процесiв дробового ефекту. Вперше такi процеси розглядалися у роботi [9], де, зокрема, дослiджувалися умови їх вибiркової неперевностi. Оцiнки розподiлiв супремумiв сепарабельних строго φ-субгауссових процесiв квазiдробового ефекту отримано у роботах [1, 2]. Задачi оцiнювання ймовiрностi виходу траєкторiї φ-субгауссового випадкового процесу за криву розглядалися у роботах [3, 6, 11]. Процеси дробового ефекту є математичними моделями рiзних явищ i дослiджуються вiд початку ХХ столiття. Зараз процеси дробового ефекту застосовуються у фiзицi, страхуваннi, фiнансовiй математицi, теорiї телекомунiкацiйних мереж тощо [5, 7, 8]. У класичнiй моделi дробового ефекту припускається, що в деяку систему надходять iмпульси згiдно зi стандартним пуассонiвським процесом, величини реакцiї (вiдгуку) на iмпульс є незалежними однаково розподiленими випадковими величинами, незалежними вiд пуассонiвського процесу надходження iмпульсiв, а пiсля моменту iмпульсу реакцiя «затухає» згiдно з експоненцiальним законом розподiлу. Але iз часом з’явилося дуже багато варiацiй цiєї моделi. У данiй роботi розглядається випадок, коли ξ = (ξ(t), t ∈ R) є строго φ-субгауссовим випадковим процесом iз некорельованими приростами, таким що E(ξ(t) − ξ(s))2 = t − s, t > s ∈ R. Породжений ним процес X(t) = R +∞ −∞ g(t, u)dξ(u) називатимемо строго φ-субгауссовим процесом квазiдробового ефекту. У роботi [10] отримано оцiнки ймовiрностi виходу траєкторiї сепарабельного строго φ-субгауссового процесу квазiдробового ефекту, визначеного на вiдрiзку, за криву, задану деякою неперервною функцiєю. Такi оцiнки можуть бути застосованi при дослiдженнi процесiв дробового ефекту, якi виникають у задачах фiнансової математики, теорiї телекомунiкацiйних мереж тощо.